Esperto è una parola grossa, ... diciamo diversamente ignorante.

Io nella mia vita mi occupo di riciclo della plastica proveniente dalla raccolta differenziata, il che è tutto dire.
Il pulsante sul cruscotto comanda le quattro frecce quando le azioni manualmente.
Il lampeggio quando chiudi la macchina con la chiave invece è gestito da una centralina, che Volkswagen chiama "modulo comfort" e che gestisce varie funzioni della vettura, tra cui i vetri elettrici e la chiusura centralizzata.
Se fai una ricerca con Google digitando "modulo comfort New Beetle", scopri di cosa sto parlando.
Questa centralina contiene un relè che aziona il lampeggio delle frecce quando chiudi la macchina e la risalita automatica dei vetri. E' programmabile in officina, alcune funzioni possono essere attivate o escluse.
Secondo me il tuo problema è lì e non nel pulsante, che le comanda manualmente ma è scollegato dalla chiusuta centralizzata. Secondo me il relè che comanda il lampeggio quando schiacci il pulsante si inceppa e le lascia accese.
La buona notizia è che il ricambio originale dovrebbe essere ancora disponibile (con l'elettronica non è scontato) perchè in comune con altre VW e che volendo risparmiare lo si trova dai demolitori (i demolitori di solito prima di pressare una macchina ne smontano le centraline). La pessima notizia è che va programmata, per cui dai Volks ci devi andare comunque.
Tuttavia, poichè dalla latrina bisogna comunque uscire, prova a fare una cosa. Il modulo comfort dovrebbe essere piazzato sopra la pedaliera, alla sinistra del piantone dello sterzo. E' una scatoletta nera rettangolare con due spinotti sul lato corto.
Senza spaccare tutto, prova a dare qualche colpetto, e a smuovere gli spinotti, se è il relè inceppato, magari picchiettando riesci a sbloccarlo. A volte funziona, a volte no, ma provare non costa nulla. Se ci riesci, evita di chiudere a chiave la macchina e almeno riesci ad andare in officina. Se vuoi provare a staccare e riattaccare i cablaggi (potrebbero essere ossidati) fallo a batteria staccata, per evitare di danneggiare la centralina.
Ti allego una foto che ho trovato in rete e che ti dovrebbe aiutare a capire di cosa sto parlando.
Io sono convinto che il problema sia lì e non nel pulsante.